안녕하세요! 이곳은 설명하는 듯한 말투로 적혀있지만 정보 전달의 목적보다는 개인 정리용 문서에 가깝습니다. 때문에 정보가 정확하지 않을 수 있습니다. 현대대수의 내용은 [Fraleigh 7판]을 기준으로 작성되었고, 현대대수를 공부하던 시절 [Visual group theory(Macauley)]을 보며 공부했기 때문에 이를 서술하는 과정에서 의도치 않게 개념이 녹아들 수 있습니다.
Why, 현대대수
현대대수학(Modern Algebra)은 경우에 따라서 '추상대수학(Abstract Algebra)'라고도 불립니다. 이름 그대로, 네, 겁나 추상적인 신식 대수학입니다. 그럼 옛날 대수학과는 차이가 뭐길래 이런 이름을 붙였을까요? 혹시 '호부호형'이라는 사자성어를 들어보셨나요?
이를 현대대수학 버전으로 해석하면
호삼호사
숫자 3을 3이라 부르고 4를 4라고 부른다
하지 못한다는 것을 들 수 있습니다. 그럼 여기서 드는 생각은 아닠ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 숫자가 3이면 3이지 뭔 3이 아닌뎈ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ라고 생각할 수 있지만, 이제부터 앞으로 3은 3이 아니게 될 것입니다(?!). 그럼 간단히 예를 들어보며 이런 강아지 소리 같은 주장에 한 번 힘을 실어보져. 간단한 규칙성 찾기 퀴즈입니다.
Q1. 다음 빈칸에 들어갈 말로 적절한 것은?
A - B - C - D - A - B - ( ) - D -...
너무 간단한 문제 아닌가요? A 다음에 B가 있고, B 다음엔 C, C 다음엔 D, 그리고 A가 반복되죠. 그럼 당빠 빈칸은 C가 되지 않겠습니까?? 이거 대학수학 맞아요??? 맞습니다~ 이게 바로 대학수학이에요!! 별로 어렵지 않으니 간단한 퀴즈를 하나 더 내보죠.
Q2. 다음 빈칸에 들어갈 말로 적절한 것은?
1 - 2 - 3 - 4 - 1 - 2 - ( ) - 4 - ...
아니.. 비슷한 논리로 그러면 3이 되겠네요. 너무 쉬운 것 아닌가요? 그럼 마지막으로 한 문제만 더 풀어보겠습니다.
Q3. 다음 빈칸에 들어갈 말로 적절한 것은?
4 - 3 - 2 - 1 - 4 - 3 - ( ) - 1 - ...
우리는 자연스럽게 'Q2와 반대되게 감소하는 패턴'인 것으로 인식하고 정답은 2라는 사실을 쉽게 알 수 있습니다.
이 세 가지 내용을 정리해보면, (수학적으로 약간 비약이 있는 것을 감안하고) 현대대수의 입장에서는 다음과 같이 주장할 수 있게 됩니다.
" C = 3 = 2이다. "
C와 3과 2는 모두 집합상 다른 기호를 의미하지만, 각 규칙은 4개의 문자가 뱅글뱅글 순환한다는 점은 동일하며, 이들은 모두 4개의 문자 중에서 세 번째 있는 문자라는 사실에는 변함이 없습니다. 현대대수는 숫자나 기호 자체보다는, 집합이 돌아가는 방식 자체(이를 쌈박하게 '대수적 구조'라고 합니다)를 보며 연구하는 학문이 바로 현대대수입니다. 현대대수 입장에서는 이런 세 가지 구조가 결국은 똑같은 구조를 말하기 때문에 이들을 서로 '동형(구조)'이라고 부릅니다.
그래서 현대대수에는 집합(=단순히 무언가를 모아놓은 것들)은 의미가 없습니다. 항상 집합 내의 원소가 어떻게 돌아가는지를 정의한 연산이 같이 있어야 이야기가 되는 것이지요. 이렇게 집합과 연산을 합친 대수적 구조인
군, 환, 체
를 기본으로 하여 현대대수의 이야기가 전개되게 되는 것입니다. 뭐, 이들에 대한 엄밀한 정의는 차차 살펴볼 것입니다. 중요한 것은 이제부터 헬파티가 시작될 거라는 것이고 이걸 공부하려고 하는 여러분들은 매우 큰일이 났다는 것이지요. 그럼 팟팅^^